15. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 20, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 3√39. Найдите sin ∠ABC.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза — AB, поэтому для угла ABC: \(\sin\angle ABC=\dfrac{AC}{AB}\).

Обозначим второй катет через \(BC=x\). Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \(\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{AB\cdot CH}{2}\). Следовательно, \(CH=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}\).

Подставим данные и используем \(AB^2=AC^2+BC^2\): \(3\sqrt{39}=\dfrac{20x}{\sqrt{400+x^2}}\). Возведём в квадрат: \(351(400+x^2)=400x^2\), откуда \(x^2=140400\), то есть \(BC=30\sqrt{39}\). Тогда \(AB=\sqrt{20^2+(30\sqrt{39})^2}=10\sqrt{355}\).

Ответ: \(\sin\angle ABC=\dfrac{2}{\sqrt{355}}\).