15. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 16, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 8√3. Найдите sin ∠ABC.

В прямоугольном треугольнике ABC, sin ∠ABC = CH / BC. Из подобия треугольников ACH и CBH, CH^2 = AH * HB. Также, AC^2 = AH * AB и BC^2 = HB * AB. Из подобия треугольников ABC и ACH, sin ∠ABC = AC / AB. Из подобия треугольников ABC и CBH, sin ∠ABC = CH / BC. В прямоугольном треугольнике ABC, AC = 16, CH = 8√3. По теореме Пифагора, AB^2 = AC^2 + BC^2. Также, площадь треугольника ABC = 0.5 * AC * BC = 0.5 * AB * CH. Отсюда, AC * BC = AB * CH. BC = (AB * CH) / AC. Подставляем в теорему Пифагора: AB^2 = AC^2 + ((AB * CH) / AC)^2. AB^2 = 16^2 + ((AB * 8√3) / 16)^2. AB^2 = 256 + (AB^2 * 64 * 3) / 256. AB^2 = 256 + AB^2 * 192 / 256. AB^2 = 256 + AB^2 * 3 / 4. AB^2 - (3/4)AB^2 = 256. (1/4)AB^2 = 256. AB^2 = 1024. AB = 32. Теперь найдем BC: BC = (32 * 8√3) / 16 = 2 * 8√3 = 16√3. sin ∠ABC = AC / AB = 16 / 32 = 0.5.