15. В треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$BM$$. Найдите градусную меру угла $$A$$, если $$\angle C=53^{\circ}$$ и $$BM = AM = MC$$.

Решение:

По условию $$BM$$ — медиана, значит, $$M$$ — середина стороны $$AC$$, и $$AM = MC$$.

Также по условию $$BM = AM = MC$$.

Рассмотрим треугольник $$BMC$$. Так как $$BM = MC$$, этот треугольник равнобедренный. Следовательно, $$\angle MBC = \angle C = 53^{\circ}$$.

Рассмотрим треугольник $$AMB$$. Так как $$BM = AM$$, этот треугольник равнобедренный. Следовательно, $$\angle ABM = \angle A$$.

Сумма углов в треугольнике $$ABC$$ равна $$180^{\circ}$$:

$$ \angle A + \angle ABM + \angle MBC + \angle C = 180^{\circ} $$

Подставим известные значения и обозначения:

$$ \angle A + \angle A + 53^{\circ} + 53^{\circ} = 180^{\circ} $$

$$ 2\angle A + 106^{\circ} = 180^{\circ} $$

$$ 2\angle A = 180^{\circ} - 106^{\circ} $$

$$ 2\angle A = 74^{\circ} $$

$$ \angle A = \frac{74^{\circ}}{2} $$

$$ \angle A = 37^{\circ} $$

Ответ: 37