15. В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол в равен 60°, BC = 6√6. Найдите АС.

Решение:

1. Найдём угол C:

• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Угол C = 180° - Угол A - Угол B = 180° - 45° - 60° = 75°.

2. Применим теорему синусов:

• Теорема синусов гласит: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
• В нашем случае: \( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \)
• Подставим известные значения: \( \frac{6\sqrt{6}}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 60°} \)
• Выразим AC: \( AC = \frac{6\sqrt{6} \cdot \sin 60°}{\sin 45°} \)
• Значения синусов: \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Подставим значения синусов: \( AC = \frac{6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)
• Упростим: \( AC = 6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
• \( AC = 6\sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \)
• \( AC = 6\sqrt{6} \cdot \sqrt{1.5} \)
• \( AC = 6\sqrt{9} \)
• \( AC = 6 \cdot 3 \)
• \( AC = 18 \)

Ответ: 18