16. На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 134°. Прямая ВС касается окружности в точке В так, что угол АВС острый. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Связь центрального и вписанного углов:

• Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен градусной мере этой дуги, то есть 134°.
• Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла.
• Угол ACB = 134° / 2 = 67°.

2. Свойство касательной и радиуса:

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Пусть O - центр окружности. Угол OBC = 90°.

3. Найдём угол ABC:

• Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°.
• Угол ABC = 180° - Угол ACB - Угол BAC.
• Для нахождения угла BAC, нам нужно найти угол, который опирается на дугу BC.
• Угол BOC = 180° - угол AOB (если AOB - центральный угол, соответствующий дуге AB).
• Однако, проще использовать другое свойство: угол между касательной (BC) и хордой (AB) равен половине дуги, которую они отсекают.
• Но это не тот угол, который нам нужен.
• Вернёмся к свойству касательной. Угол OBC = 90°.
• Угол ABC = Угол OBC - Угол OBA.
• Угол OBA — это угол в равнобедренном треугольнике AOB (OA=OB - радиусы).
• Угол AOB = 134°.
• Углы OAB и OBA в треугольнике AOB равны: (180° - 134°) / 2 = 46° / 2 = 23°.
• Следовательно, Угол OBA = 23°.
• Угол ABC = 90° - 23° = 67°.

Проверка: Угол ABC получился 67°, что является острым углом, как и сказано в условии.

Ответ: 67