15 В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = 4√6. Найдите длину стороны АС.

Задание 15. Треугольник

Дано:

• Треугольник АВС.
• Угол А = 45°.
• Угол В = 60°.
• Сторона ВС = 4√6.

Найти: длину стороны АС.

Решение:

1. Сначала найдём угол С в треугольнике АВС. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому: \[ \angle C = 180° - \angle A - \angle B \]
2. Подставим известные значения: \[ \angle C = 180° - 45° - 60° = 75° \]
3. Теперь применим теорему синусов к треугольнику АВС. Теорема синусов гласит: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
4. В нашем случае: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]
5. Подставим известные значения: \[ \frac{4\sqrt{6}}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 60°} \]
6. Теперь выразим АС: \[ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin 60°}{\sin 45°} \]
7. Известные значения синусов: \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
8. Подставим значения синусов: \[ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
9. Упростим выражение: \[ AC = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \]
10. Сократим 2: \[ AC = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
11. Умножим корни: \[ AC = 4\sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}} = 4\sqrt{\frac{18}{2}} = 4\sqrt{9} \]
12. Вычислим квадратный корень: \[ AC = 4 \cdot 3 = 12 \]

Ответ: 12