Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 17 Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС=2, AD=5, AC=28. Найдите длину отрезка АО.Фото задания

Ответ:

Задание 17. Трапеция

Дано:

  • Трапеция ABCD, основания ВС и AD.
  • Диагонали AC и BD пересекаются в точке О.
  • ВС = 2.
  • AD = 5.
  • AC = 28.

Найти: длину отрезка АО.

Решение:

  1. Рассмотрим треугольники ВОС и DOA.
  2. Так как ВС || AD (по определению трапеции), то:
    • Угол ВОС = Угол DOA (как вертикальные).
    • Угол ОВС = Угол ODA (как накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей BD).
    • Угол ОСВ = Угол OAD (как накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей AC).
  3. Следовательно, треугольники ВОС и DOA подобны по трём углам (первый признак подобия).
  4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BO}{DO} \]
  5. Нам известны основания ВС и AD, а также длина диагонали AC. Мы знаем, что AC = AO + OC.
  6. Используем отношение подобия для сторон, связанных с диагональю AC: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} \]
  7. Подставим известные значения: \[ \frac{2}{5} = \frac{OC}{OA} \]
  8. Выразим OC через OA: \( OC = \frac{2}{5} OA \).
  9. Теперь подставим это выражение в равенство \( AC = AO + OC \): \[ 28 = OA + \frac{2}{5} OA \]
  10. Приведём к общему знаменателю: \[ 28 = \frac{5}{5} OA + \frac{2}{5} OA \]
  11. Сложим дроби: \[ 28 = \frac{7}{5} OA \]
  12. Выразим OA: \[ OA = 28 \cdot \frac{5}{7} \]
  13. Сократим 28 и 7: \[ OA = 4 \cdot 5 = 20 \]

Ответ: 20