15 В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 45°, ВС = 5√6. Найдите АС.

Задание 15. Треугольник ABC

Дано:

• Треугольник ABC.
• Угол \( A = 60^\circ \).
• Угол \( B = 45^\circ \).
• Сторона \( BC = 5\sqrt{6} \).

Найти: сторону \( AC \).

Решение:

1. Сначала найдём угол \( C \) в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):
2. \( \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \)
3. \( \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
4. Теперь применим теорему синусов для нахождения стороны \( AC \):
5. \( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \)
6. Подставим известные значения:
7. \( \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} \)
8. Мы знаем, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
9. \( \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
10. Умножим обе части на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):
11. \( AC = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
12. \( AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \)
13. \( AC = \frac{5\sqrt{12}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \)
14. \( AC = \frac{5\sqrt{4 \cdot 3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \)
15. \( AC = \frac{5 \cdot 2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \)
16. \( AC = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \)
17. \( AC = 10 \)

Ответ: 10.