17 В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 14° и ∠BDC = 106°. Найдите угол ABD.

Задание 17. Трапеция ABCD

Дано:

• Трапеция ABCD.
• \( AB = CD \) (боковые стороны равны, значит, трапеция равнобедренная).
• \( \angle BDA = 14^\circ \).
• \( \angle BDC = 106^\circ \).

Найти: угол \( ABD \).

Решение:

1. Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, и диагонали равны. Также, углы при основании равны: \( \angle DAB = \angle CDA \) и \( \angle ABC = \angle DCB \).
2. Угол \( CDA = \angle BDA + \angle BDC \).
3. \( \angle CDA = 14^\circ + 106^\circ = 120^\circ \).
4. Так как трапеция равнобедренная, то \( \angle DAB = \angle CDA = 120^\circ \).
5. В равнобедренной трапеции диагонали равны: \( AC = BD \).
6. Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов равна \( 180^\circ \).
7. \( \angle CBD = 180^\circ - \angle BDC - \angle BCD \).
8. \( \angle BCD = \angle CDA = 120^\circ \) - это неверно, \( \angle BCD \) это угол трапеции.
9. Углы при основании трапеции: \( \angle BCD = 180^\circ - \angle CDA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) (так как \( BC \) и \( AD \) параллельны, а \( CD \) — секущая).
10. Теперь найдём \( \angle CBD \) в треугольнике BCD:
11. \( \angle CBD = 180^\circ - 106^\circ - 60^\circ = 14^\circ \).
12. Углы \( \angle BDA = 14^\circ \) и \( \angle CBD = 14^\circ \) равны. Это означает, что треугольник BOC (где O — точка пересечения диагоналей) является равнобедренным.
13. Теперь рассмотрим углы трапеции. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \).
14. Так как трапеция равнобедренная, \( \angle ABC = \angle DCB = 60^\circ \).
15. \( \angle ABD + 14^\circ = 60^\circ \).
16. \( \angle ABD = 60^\circ - 14^\circ = 46^\circ \).

Ответ: 46.