151. В тесте по биологии 16 задач с выбором ответа из четырёх предложенных вариантов. Верный вариант только один. Тройку ставят за 4 правильных ответа, четвёрку — за 12, а пятёрку — за 15 правильных ответов. Вася готов к тесту и выбирает ответы наугад. Разумно ли ожидать, что Вася получит: а) отметку «3»; б) отметку «4»; в) отметку «5»?

При случайном выборе вероятность правильного ответа на один вопрос равна \(\frac14\). Из 16 задач в среднем ожидается \(16\cdot\frac14=4\) правильных ответа.

а) Для отметки «3» достаточно 4 правильных ответов. Такое количество совпадает с ожидаемым, поэтому получить тройку разумно ожидать.

б) Для отметки «4» нужны 12 правильных ответов — значительно больше ожидаемых четырёх. Вероятность получить ровно 12 правильных ответов составляет \(\binom{16}{12}(\frac14)^{12}(\frac34)^4\approx0.0000343\). Такое ожидание неразумно.

в) Для отметки «5» нужны 15 правильных ответов. Вероятность получить ровно 15 составляет \(\binom{16}{15}(\frac14)^{15}(\frac34)=\frac{12}{4^{15}}\approx0.0000000112\). Такое ожидание неразумно.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет.