153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y=\frac{1}{3}x^2-4x+4\); б) \(y=-\frac{1}{4}x^2+x-1\); в) выражение обрезано на фотографии.

а) \(y=\frac{1}{3}x^2-4x+4\).

Выделим квадрат: \(y=\frac{1}{3}(x-6)^2-8\). Это парабола с ветвями вверх, вершиной \((6;-8)\) и осью симметрии \(x=6\).

Нули: \(\frac{1}{3}x^2-4x+4=0\), то есть \(x^2-12x+12=0\). Отсюда \(x=6\pm2\sqrt6\). Пересечение с осью \(Oy\): \((0;4)\).

Область определения: все действительные числа; область значений: \([-8;+\infty)\). Функция убывает на \((-;6]\) и возрастает на \([6;+)\). Наименьшее значение равно \(-8\); наибольшего нет.

б) \(y=-\frac{1}{4}x^2+x-1\).

Выделим квадрат: \(y=-\frac{1}{4}(x-2)^2\). Это парабола с ветвями вниз, вершиной \((2;0)\) и осью симметрии \(x=2\). Пересечение с осью \(Ox\): \((2;0)\), корень кратный; с осью \(Oy\): \((0;-1)\).

Область определения: все действительные числа; область значений: \((-;0]\). Функция возрастает на \((-;2]\), убывает на \([2;+)\). Наибольшее значение равно 0; наименьшего нет.

Для построения а) можно отметить вершину \((6;-8)\), точки \((0;4)\), \((12;4)\) и нули \((6-2\sqrt6;0)\), \((6+2\sqrt6;0)\). Для б) отметьте вершину \((2;0)\), а также симметричные точки \((0;-1)\), \((4;-1)\), \((-2;-4)\), \((6;-4)\), затем проведите через них параболы.

в) Нельзя восстановить выражение: правая часть формулы обрезана. Пришлите фрагмент с пунктом в) целиком, чтобы можно было построить график и описать свойства.