153. Постройте на координатной плоскости треугольник с вершинами \(A(3;−1)\), \(B(0;4)\), \(C(−4;4)\). Найдите координаты вершин треугольника, симметричного треугольнику \(ABC\) относительно: а) оси \(x\); б) оси \(y\); в) начала координат; г) точки \(A\); д) прямой \(BC\).

Используем правила симметрии:

• относительно оси \(x\): \((x;y)\mapsto(x;−y)\);
• относительно оси \(y\): \((x;y)\mapsto(−x;y)\);
• относительно начала координат: \((x;y)\mapsto(−x;−y)\);
• относительно точки \(A\): точка \(A\) неподвижна, а \(A\) является серединой отрезков, соединяющих соответствующие точки.

Так как \(B(0;4)\) и \(C(−4;4)\), прямая \(BC\) имеет уравнение \(y=4\). Отражение относительно неё задаётся формулой \((x;y)\mapsto(x;8−y)\).

а) Относительно оси \(x\): \(A_1(3;1), B_1(0;−4), C_1(−4;−4)\).

б) Относительно оси \(y\): \(A_2(−3;−1), B_2(0;4), C_2(4;4)\).

в) Относительно начала координат: \(A_3(−3;1), B_3(0;−4), C_3(4;−4)\).

г) Относительно точки \(A(3;−1)\): \(A_4(3;−1)\), \(B_4=2A−B=(6;−2)−(0;4)=(6;−6)\), \(C_4=2A−C=(6;−2)−(−4;4)=(10;−6)\).

д) Относительно прямой \(BC\), то есть \(y=4\): \(A_5(3;9), B_5(0;4), C_5(−4;4)\).

Ответ: а) \(A_1(3;1), B_1(0;−4), C_1(−4;−4)\); б) \(A_2(−3;−1), B_2(0;4), C_2(4;4)\); в) \(A_3(−3;1), B_3(0;−4), C_3(4;−4)\); г) \(A_4(3;−1), B_4(6;−6), C_4(10;−6)\); д) \(A_5(3;9), B_5(0;4), C_5(−4;4)\).