153. Выполните действия: а) (a² − 9)/(2a² + 1) · ((6a + 1)/(a − 3) + (6a − 1)/(a + 3)); б) ((5x + y)/(x − 5y) + (5x − y)/(x + 5y)) : ((x² + y²)/(x² − 25y²)).

а) Разложим разность квадратов и сложим дроби в скобках:

\(\frac{a^2-9}{2a^2+1}\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right)=\frac{(a-3)(a+3)}{2a^2+1}\cdot\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)}.\)

В числителе суммы получаем \((6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)=12a^2+6=6(2a^2+1)\). Поэтому

\(\frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}=6.\)

Ограничения: \(a\ne3\), \(a\ne-3\).

б) Сначала сложим дроби:

\(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}=\frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{x^2-25y^2}=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}.\)

Теперь разделим на указанную дробь:

\(\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}:\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}=10.\)

Ограничения: \(x-5y\ne0\) и \(x+5y\ne0\); они обеспечивают допустимость знаменателей и ненулевой делитель.

Ответ: а) \(6\); б) \(10\).