154. Решите уравнения: 1) $x+1=\sqrt{1-x}$; 2) $x=1+\sqrt{x+11}$; 3) $\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}$; 4) $\sqrt{x^2-x-3}=3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 154. Решите уравнения: 1) $x+1=\sqrt{1-x}$; 2) $x=1+\sqrt{x+11}$; 3) $\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}$; 4) $\sqrt{x^2-x-3}=3$.$ Фото задания

154. Решите уравнения: 1) $x+1=\sqrt{1-x}$; 2) $x=1+\sqrt{x+11}$; 3) $\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}$; 4) $\sqrt{x^2-x-3}=3$.

Accepted Answer

Для существования корня нужно $x\leq 1$. Возводим обе части в квадрат: $(x+1)^2=1-x$, откуда $x^2+3x=0$, то есть $x=0$ или $x=-3$. Проверка в исходном уравнении: при $x=0$ равенство верно; при $x=-3$ получаем $-2\neq 2$. Подходит только $x=0$.
Поскольку правая часть не меньше 1, необходимо $x\geq 1$. Тогда $x-1=\sqrt{x+11}$. Возводим в квадрат: $(x-1)^2=x+11$, откуда $x^2-3x-10=0$. Корни: $5$ и $-2$; условию $x\geq 1$ удовлетворяет только $5$.
Область определения: $-3\leq x\leq 5$. Равенство квадратных корней означает равенство подкоренных выражений: $x+3=5-x$, откуда $x=1$. Это значение допустимо.
Возводим обе части в квадрат: $x^2-x-3=9$, то есть $x^2-x-12=0$. Разложение на множители: $(x-4)(x+3)=0$, поэтому $x=4$ или $x=-3$. При обоих значениях подкоренное выражение равно 9, и оба корня подходят.

Ответ: 1) $0$; 2) $5$; 3) $1$; 4) $-3$, $4$.

154. Решите уравнения: 1) \(x+1=\sqrt{1-x}\); 2) \(x=1+\sqrt{x+11}\); 3) \(\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}\); 4) \(\sqrt{x^2-x-3}=3\).

Ответ: