155. На рисунке 61 хорда CD пересекает диаметр AB в точке K, ∠DEK = ∠CFK = 90°, ∠DKA = 60°, EF = 10 см. Найдите хорду CD.

Краткая запись:

• CD — хорда
• AB — диаметр
• K — точка пересечения CD и AB
• ∠DEK = ∠CFK = 90°
• ∠DKA = 60°
• EF = 10 см
• Найти: CD — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник DKE. Угол ∠DKA = 60°, значит, ∠DKE = 180° - 60° = 120° (если K находится между D и E, что не указано, но по рисунку так). Предположим, что K - точка пересечения на диаметре AB. ∠DKA = 60°, тогда ∠DKB = 180° - 60° = 120°. Если K - точка пересечения CD и AB, и ∠DKA = 60°, то угол между хордой CD и диаметром AB равен 60°.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике DKE, ∠DEK = 90°, ∠DKA = 60°. Тогда ∠EDK = 180° - 90° - 60° = 30°.
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике EKF, ∠EFK = 90°. Угол ∠EKF = ∠DKA = 60° (вертикальные углы). Тогда ∠FEK = 180° - 90° - 60° = 30°.
4. Шаг 4: В треугольнике EKF, EF = 10 см. Угол ∠FEK = 30°. Используя тригонометрию: \( rac{EF}{EK} = an(60°) \) или \( rac{EK}{EF} = an(30°) \). \( EK = rac{EF}{ an(60°)} = rac{10}{ ext{sqrt(3)}} = rac{10 ext{sqrt(3)}}{3} \) см.
5. Шаг 5: Также \( rac{EF}{FK} = an(60°) \). \( FK = rac{EF}{ an(60°)} = rac{10}{ ext{sqrt(3)}} = rac{10 ext{sqrt(3)}}{3} \) см.
6. Шаг 6: В прямоугольном треугольнике DKE, ∠EDK = 30°. \( rac{EK}{DK} = an(30°) \). \( DK = rac{EK}{ an(30°)} = rac{10 ext{sqrt(3)}/3}{1/ ext{sqrt(3)}} = rac{10 ext{sqrt(3)}}{3} · ext{sqrt(3)} = rac{10 · 3}{3} = 10 \) см.
7. Шаг 7: В прямоугольном треугольнике CFK, ∠CFK = 90°. Угол ∠CKF = ∠DKA = 60° (вертикальные углы). \( rac{FK}{CK} = an(60°) \). \( CK = rac{FK}{ an(60°)} = rac{10 ext{sqrt(3)}/3}{ ext{sqrt(3)}} = rac{10}{3} \) см.
8. Шаг 8: Хорда CD = CK + KD.
9. Шаг 9: CD = \( rac{10}{3} + 10 = rac{10 + 30}{3} = rac{40}{3} \) см.

Ответ: ½CD = ½ · ½ · ½½