Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 156. Решите уравнения: 1) \(\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8\); 3) \(\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Область допустимых значений: \(x\ge17\). Возводим в квадрат: \(2x-34=1+2\sqrt{x}+x\), поэтому \(x-35=2\sqrt{x}\). Положим \(t=\sqrt{x}\). Тогда \(t^2-2t-35=0\), откуда \(t=7\) или \(t=-5\). Подходит \(t=7\), следовательно, \(x=49\).

  2. Область допустимых значений: \(0\le x\le14\). После возведения в квадрат получаем \(5x+14-x+2\sqrt{5x(14-x)}=64\), то есть \(\sqrt{5x(14-x)}=25-2x\). Повторное возведение в квадрат даёт \(5x(14-x)=(25-2x)^2\), или \(9x^2-170x+625=0\). Корни: \(x=5\) и \(x=\frac{125}{9}\). Проверка исходного уравнения показывает, что подходит только \(x=5\): \(\sqrt{25}+\sqrt9=5+3=8\).

  3. Положим \(t=\sqrt{x+3}\), тогда \(t\ge0\), а \(\sqrt{x+15}=\sqrt{t^2+12}\). Получаем \(\sqrt{t^2+12}+t=6\), поэтому \(\sqrt{t^2+12}=6-t\). Возводим в квадрат: \(t^2+12=36-12t+t^2\), откуда \(t=2\). Следовательно, \(x+3=4\), то есть \(x=1\).

  4. Положим \(t=\sqrt{1-x}\), где \(t\ge0\). Тогда \(\sqrt{3-2x}=\sqrt{1+2t^2}\), и уравнение принимает вид \(\sqrt{1+2t^2}-t=1\). Значит, \(\sqrt{1+2t^2}=1+t\). После возведения в квадрат: \(1+2t^2=1+2t+t^2\), откуда \(t(t-2)=0\). Поэтому \(t=0\) или \(t=2\), следовательно, \(x=1\) или \(x=-3\).

Ответ: 1) \(x=49\); 2) \(x=5\); 3) \(x=1\); 4) \(x=-3,\ 1\).