156. Выполните действия: а) $(\frac1y+\frac2{x-y})(x-\frac{x^2+y^2}{x+y})$; б) $(a+b-\frac{2ab}{a+b}):(\frac{a-b}{a+b}+\frac ba)$; в) $(x^2-1)(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1)$; г) $(m+1-\frac1{1-m}):(m-\frac{m^2}{m-1})$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 156. Выполните действия: а) $(\frac1y+\frac2{x-y})(x-\frac{x^2+y^2}{x+y})$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Упростим каждый множитель:

$\frac1y+\frac2{x-y}=\frac{x+y}{y(x-y)}$,

$x-\frac{x^2+y^2}{x+y}=\frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y}$.

Их произведение равно 1 (при допустимых значениях переменных).

б) Числитель делимого:

$a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b}$.

Делитель:

$\frac{a-b}{a+b}+\frac ba=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$.

Деление даёт $a$, если выражения определены и делитель не равен нулю.

в) Разность дробей в скобках равна $\frac{(x+1)-(x-1)}{x^2-1}=\frac2{x^2-1}$. Тогда

$(x^2-1)\left(\frac2{x^2-1}+1\right)=2+x^2-1=x^2+1$, при $x\ne\pm1$.

г) Поскольку $-\frac1{1-m}=\frac1{m-1}$, числитель равен $m+1+\frac1{m-1}=\frac{m^2}{m-1}$. Знаменатель:

$m-\frac{m^2}{m-1}=\frac{m(m-1)-m^2}{m-1}=-\frac{m}{m-1}$.

Частное равно $-m$, при $m\ne0,1$.

Ответ: а) 1; б) $a$; в) $x^2+1$; г) $-m$.

156. Выполните действия: а) \((\frac1y+\frac2{x-y})(x-\frac{x^2+y^2}{x+y})\); б) \((a+b-\frac{2ab}{a+b}):(\frac{a-b}{a+b}+\frac ba)\); в) \((x^2-1)(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1)\); г) \((m+1-\frac1{1-m}):(m-\frac{m^2}{m-1})\).