157. а) В угол С величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите величину угла АОВ. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Четырехугольник, образованный вершиной угла, двумя точками касания и центром вписанной окружности, обладает особыми свойствами. Сумма противоположных углов в таком четырехугольнике равна 180 градусам.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим четырехугольник ОАСВ, где С — вершина угла, А и В — точки касания окружности со сторонами угла, О — центр окружности.
2. Шаг 2: Радиусы ОА и ОВ перпендикулярны касательным СА и СВ соответственно. Следовательно, углы ОАС и ОВС равны 90°.
3. Шаг 3: Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Поэтому: \( ext{угол С} + ext{угол ОАС} + ext{угол АОВ} + ext{угол СВО} = 360° \).
4. Шаг 4: Подставляем известные значения: \( 83° + 90° + ext{угол АОВ} + 90° = 360° \).
5. Шаг 5: Упрощаем: \( 263° + ext{угол АОВ} = 360° \).
6. Шаг 6: Находим угол АОВ: \( ext{угол АОВ} = 360° - 263° = 97° \).

Ответ: 97