157 Площадь прямоугольника равна 36. Известно, что длины его сторон — натуральные числа. Про какие из следующих утверждений можно сказать, что они являются истинными высказываниями? a) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число». б) «Этот прямоугольник является квадратом».

Решение:

Площадь прямоугольника равна 36. Длины его сторон — натуральные числа. Это значит, что стороны являются натуральными делителями числа 36.

Возможные пары длин сторон (a, b), где \( a \cdot b = 36 \) и \( a, b \in \mathbb{N} \):

• (1, 36)
• (2, 18)
• (3, 12)
• (4, 9)
• (6, 6)

Рассмотрим каждое утверждение:

1. а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число». Проверим пары:
   • (1, 36): 36 — чётное.
   • (2, 18): 2 и 18 — чётные.
   • (3, 12): 12 — чётное.
   • (4, 9): 4 — чётное.
   • (6, 6): 6 — чётное.
   Во всех возможных парах найдётся хотя бы одна чётная сторона. Следовательно, это утверждение истинно.
2. б) «Этот прямоугольник является квадратом». Прямоугольник является квадратом, если его стороны равны. Из возможных пар только (6, 6) соответствует этому условию. Однако, существуют и другие варианты (например, 1x36, 2x18, 3x12, 4x9), при которых прямоугольник не является квадратом. Поэтому утверждение, что *этот* прямоугольник является квадратом, не всегда истинно. Ложно.

Ответ: а.