157. Упростите выражение: а) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; б) $\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 157. Упростите выражение: а) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$, $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$. Сумма в скобках равна $\frac{2y(x+y)}{(y^2-x^2)(x+y)^2}$.
Деление на эту сумму заменяем умножением на обратную дробь и сокращаем: $\frac{4xy}{y^2-x^2}\cdot\frac{(y^2-x^2)(x+y)^2}{2y(x+y)}=2x(x+y)$.
Сначала выполняем деление внутри скобок:
$\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}=\frac{x-2y}{(x+2y)^2}$.
Тогда выражение в больших скобках:
$\frac{x-2y}{x(x+2y)}-\frac{x-2y}{(x+2y)^2}=\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}$.
Умножаем на внешний множитель и сокращаем: $\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\frac{x-2y}{2xy}$.

Ответ: а) $2x(x+y)$; б) $\frac{x-2y}{2xy}$.

157. Упростите выражение: а) \(\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)\); б) \(\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}\).