а) Упростите выражение: $\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$; б) $\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right)$; в) $(x^2-1)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1\right)$; г) $\left(m+1-\frac{1}{1-m}\right):\left(m-\frac{m^2}{m-1}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: а) Упростите выражение: $\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем множители:
$\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}=\frac{x+y}{y(x-y)}$, а $x-\frac{x^2+y^2}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y}$.
Перемножаем и сокращаем: $\frac{x+y}{y(x-y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x+y}=1$.
Числитель: $a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b}$. Делитель: $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$.
Делим дроби: $\frac{a^2+b^2}{a+b}:\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}=a$.
В скобках приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}$. Тогда $(x^2-1)\left(\frac{2}{x^2-1}+1\right)=x^2+1$.
Первую скобку приводим к дроби: $m+1-\frac{1}{1-m}=\frac{m^2}{m-1}$. Во второй скобке $m-\frac{m^2}{m-1}=-\frac{m}{m-1}$. Поэтому $\frac{m^2}{m-1}:-\frac{m}{m-1}=-m$.

Ответ: а) 1; б) $a$; в) $x^2+1$; г) $-m$.

Ограничения исходных выражений: а) $y\ne0,\ x\ne y,\ x\ne-y$; б) $a\ne0,\ a+b\ne0$; в) $x\ne\pm1$; г) $m\ne0,1$.