157. Упростите выражение: а) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac1{y^2-x^2}+\frac1{x^2+2xy+y^2}\right)$; б) $\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac1{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 157. Упростите выражение: а) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac1{y^2-x^2}+\frac1{x^2+2xy+y^2}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим знаменатели на множители и упростим сумму в скобках:

$y^2-x^2=(y-x)(x+y)$, $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$.

$\frac1{y^2-x^2}+\frac1{(x+y)^2}=\frac{(x+y)+(y-x)}{(y-x)(x+y)^2}=\frac{2y}{(y-x)(x+y)^2}$.

Деление заменим умножением на обратную дробь:

$\frac{4xy}{(y-x)(x+y)}\cdot\frac{(y-x)(x+y)^2}{2y}=2x(x+y)$.

б) Сначала выполним деление внутри скобок:

$\frac1{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}=\frac{(2y-x)^2}{(x^2-4y^2)(x+2y)}=\frac{x-2y}{(x+2y)^2}$.

Теперь упростим разность:

$\frac{x-2y}{x(x+2y)}-\frac{x-2y}{(x+2y)^2}=\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}$.

Умножаем на оставшуюся дробь:

$\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\frac{x-2y}{2xy}$.

Ответ: а) $2x(x+y)$; б) $\frac{x-2y}{2xy}$.

Области допустимых значений: а) $y\ne0$, $x\ne y$, $x\ne-y$; б) $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne2y$, $x\ne-2y$.

157. Упростите выражение: а) \(\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac1{y^2-x^2}+\frac1{x^2+2xy+y^2}\right)\); б) \(\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac1{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}\).