159. 1) \(\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}=\sqrt{x+4}\); 2) \(\sqrt{7x+1}-\sqrt{6-x}=\sqrt{16+2x}\).

1) Область определения: \(-4\le x\le frac12\). Перенесём второй корень: \(\sqrt{1-2x}=\sqrt{13+x}+\sqrt{x+4}\). Возведём в квадрат: \(1-2x=17+2x+2\sqrt{(13+x)(x+4)}\). Левая часть после переноса дала бы \(-16-4x=2\sqrt{(13+x)(x+4)}\). При \(x\ge-4\) левая часть неположительна, а правая неотрицательна; равенство возможно только при \(x=-4\). При этом исходное уравнение даёт \(3-3=0\), а правая часть равна 0. Значит, \(x=-4\) подходит.

2) Область определения: \(- frac17\le x\le6\). Переносим корень: \(\sqrt{7x+1}=\sqrt{6-x}+\sqrt{16+2x}\). После возведения в квадрат получаем \(6x-21=2\sqrt{(6-x)(16+2x)}\), поэтому необходимо \(x\ge frac72\). Возводим в квадрат ещё раз: \((3x-10.5)^2=(6-x)(16+2x)\), откуда \(44x^2-236x+57=0\). Корни: \(x=\dfrac{59\pm\sqrt{2854}}{22}\). Условию \(x\ge frac72\) удовлетворяет только больший корень; он также подходит в исходном уравнении.

Ответ: 1) \(x=-4\); 2) \(x=\dfrac{59+\sqrt{2854}}{22}\).