15 Тип 13 № 382 В сентябре Тарас взял у приятеля деньги в долг. Приятели договорились, что каждый месяц, начи- ная с октября, Тарас возвращает 25% от оставшейся суммы долга, до тех пор, пока она не станет меньше 100 руб., а в последний месяц отдает 100 руб. Опре- делите, какую сумму взял в долг Тарас, если в нояб- ре он вернул 3000 руб. В ответ запишите только число. Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге. На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решение:

1. Анализ условия:

   Тарас возвращает 25% от оставшейся суммы каждый месяц, начиная с октября. В ноябре он вернул 3000 руб. Это значит, что 3000 руб. — это 25% от суммы долга, которая была у Тараса в начале октября (перед первым платежом).

2. Расчет суммы долга на начало октября:

   Если 3000 руб. составляют 25% (или 1/4) долга, то общий долг на начало октября был:

   \[ \text{Долг на начало октября} = 3000 \text{ руб.} \times 4 = 12000 \text{ руб.} \]

3. Расчет платежа в ноябре:

   В ноябре Тарас должен был вернуть 25% от оставшейся суммы. Поскольку он вернул 3000 руб., это и есть 25% от суммы, которая оставалась после первого платежа. Это уточнение важно, если бы платежи были разными, но здесь сказано, что он возвращает 25% от *оставшейся* суммы. Если в ноябре он вернул 3000, и это 25% от остатка, то остаток перед ноябрем был 12000. А так как он начал платить в октябре, то 12000 - это сумма долга после первого платежа. Но условие гласит, что он возвращает 25% от оставшейся суммы *до тех пор, пока она не станет меньше 100 руб*. Это значит, что сумма в 3000 руб. — это платеж за октябрь. И этот платеж составил 25% от первоначальной суммы.

   Let's re-read the problem carefully: "Тарас возвращает 25% от оставшейся суммы долга, до тех пор, пока она не станет меньше 100 руб." This implies a sequence of payments. If he returned 3000 in November, and this is 25% of the *remaining* debt *before* the November payment, then the debt *before* the November payment was $$3000 / 0.25 = 12000$$.

   However, the problem states "в ноябре он вернул 3000 руб." This most likely means that 3000 is the amount paid *in* November. If the payment is 25% of the *remaining* debt, and if this payment was 3000, then the debt before this payment was $$3000 / 0.25 = 12000$$.

   Let's assume the first payment was in October. The problem says "начиная с октября". If the debt at the start was D, then after October payment, the debt is $$D - 0.25D = 0.75D$$. If November payment was 3000, and this is 25% of remaining debt, then $$0.25 * (0.75D) = 3000$$. This would mean $$0.1875D = 3000$$, so $$D = 3000 / 0.1875 = 16000$$.

   Let's consider another interpretation: what if the 3000 руб. returned in November is *not* 25% of the *remaining* debt, but rather the *total amount paid* in November, and the rule of 25% applies to other months?

   The phrasing "Тарас возвращает 25% от оставшейся суммы долга" is key. If in November he returned 3000, and this 3000 is 25% of the debt *before* the November payment, then the debt *before* the November payment was 12000. Since payments started in October, the debt after the October payment was 12000. If the October payment was also 25% of the original debt, then the original debt D would satisfy $$0.75D = 12000$$, which means $$D = 12000 / 0.75 = 16000$$.

   Let's check this: Original debt = 16000.

   October payment = 25% of 16000 = 4000. Remaining debt = 16000 - 4000 = 12000.

   November payment = 25% of 12000 = 3000. Remaining debt = 12000 - 3000 = 9000.

   This fits the condition that in November he returned 3000 руб.

   The condition "до тех пор, пока она не станет меньше 100 руб., а в последний месяц отдает 100 руб." is for later payments. Since 9000 is not less than 100, this rule hasn't kicked in yet.

   So, the initial debt is 16000.

Ответ: 16000