16 Тип 14 № 12037 i Параллельные прямые АВ и CD пересекают прямую EF в точках К и М, а прямую UV в точках N и L соответственно. Угол LMO равен 29°, а угол ONK равен 69°. Найдите угол NOK. Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге. На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решение:

1. Угол LMO и угол KMC:

   Угол LMO и угол KMC являются вертикальными углами, следовательно, они равны. Угол KMC = 29°.

2. Угол KMC и угол KMA:

   Угол KMC и угол KMA являются смежными углами, их сумма равна 180°. Поэтому, угол KMA = 180° - 29° = 151°.

3. Параллельные прямые AB и CD:

   Прямые AB и CD параллельны.

4. Угол ONK и угол KMC:

   Угол ONK и угол KMC являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей UV. Следовательно, угол ONK = угол KMC. Мы знаем, что угол ONK = 69°, но это не совпадает с тем, что угол KMC = 29°. Значит, мы должны использовать другие свойства.

5. Угол LMO и угол AMN:

   Угол LMO и угол AMN являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей EF. Следовательно, угол AMN = 29°.

6. Угол AMN и угол KMC:

   Угол AMN и угол KMC являются вертикальными, значит, угол KMC = 29°.

7. Угол KMC и угол MKB:

   Угол KMC и угол MKB являются односторонними углами при пересечении параллельных прямых CD и AB секущей EF. Их сумма равна 180°. Угол KMC = 29°, значит, угол MKB = 180° - 29° = 151°.

8. Угол ONK и угол MOL:

   Угол ONK и угол MOL являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых UV и EF секущей CD. Следовательно, угол MOL = 69°.

9. Угол LMO и угол CMO:

   Угол LMO и угол CMO являются смежными углами. Угол LMO = 29°, следовательно, угол CMO = 180° - 29° = 151°.

10. Угол LMO и угол AMN:

    Угол LMO и угол AMN являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CD и секущей EF. Поэтому, угол AMN = 29°.

11. Угол LMO и угол BMO:

    Угол LMO и угол BMO являются односторонними углами при параллельных прямых EF и UV и секущей CD. Нет, это не так.

12. Угол LMO и угол CMK:

    Угол LMO = 29°.

    Угол CMK = 180° - 29° = 151° (смежные).

13. Угол ONK = 69°.

    Рассмотрим прямые AB и CD, они параллельны.

    Секущая UV пересекает AB в точке N и CD в точке L. Значит, угол ONK и угол CLN накрест лежащие, следовательно, угол CLN = 69°.

    Секущая EF пересекает AB в точке K и CD в точке M. Угол LMO = 29°.

14. Угол LMO и угол KMC:

    Угол LMO и угол KMC - вертикальные, значит, угол KMC = 29°.

15. Угол KMC и угол CMN:

    Угол KMC и угол CMN - смежные. Угол KMC = 29°. Угол CMN = 180° - 29° = 151°.

16. Рассмотрим секущую EF, пересекающую параллельные прямые AB и CD.

    Угол AMN и угол CMK - вертикальные. Угол LMO = 29°. Угол AMN = 180° - 29° = 151°.

    Это неверно. Угол LMO = 29°.

17. Угол LMO и угол CMN:

    Угол LMO и угол CMN являются накрест лежащими при секущей EF и параллельных прямых AB и CD. Это не так. AB || CD.

18. Пересмотрим условие: AB || CD. EF и UV - секущие.
    Угол LMO = 29°. Угол ONK = 69°.
    Найти угол NOK.
19. Угол LMO и угол AMO:

    Угол LMO = 29°. Угол AMO = 180° - 29° = 151° (смежные).

20. Угол AMO и угол MKB:

    Угол AMO и угол MKB - накрест лежащие при параллельных AB || CD и секущей EF. Следовательно, угол MKB = 151°.

21. Угол ONK = 69°.

    Рассмотрим секущую UV, пересекающую параллельные AB и CD. Угол ONK и угол CLK - накрест лежащие. Нет, угол ONK и угол LNC - накрест лежащие. Угол ONK = 69°. Значит, угол LNC = 69°.

22. Угол LNC и угол MNO:

    Угол LNC и угол MNO - вертикальные. Значит, угол MNO = 69°.

23. Угол LMO = 29°.

    Угол LMO и угол OMK - смежные. Угол OMK = 180° - 29° = 151°.

24. Угол MKO и угол OKB:

    Угол MKO и угол OKB - смежные.

25. Угол LMO = 29°.

    Угол LMO и угол AMN - вертикальные. Нет.

    Угол LMO = 29°.

    Угол CMO = 180° - 29° = 151° (смежные).

26. Рассмотрим треугольник MOK.

    Нам нужно найти угол NOK. Угол NOK - это угол, образованный пересечением секущих EF и UV.

    Угол LMO = 29°. Это угол между прямой EF (частично) и прямой UV (частично).

    Угол ONK = 69°. Это угол между прямой UV (частично) и прямой AB (частично).

27. Угол LMO = 29°.

    Угол KMC = 29° (вертикальные).

28. Угол KMC и угол KMB:

    Угол KMC и угол KMB - смежные. Угол KMC = 29°. Угол KMB = 180° - 29° = 151°.

29. Угол ONK = 69°.

    Угол ONK и угол LNK - смежные. Угол ONK = 69°. Угол LNK = 180° - 69° = 111°.

30. Рассмотрим секущую UV, пересекающую параллельные прямые AB и CD.

    Угол ONK = 69°.

    Угол LNC = 69° (накрест лежащие с ONK, если бы UV была секущей для AB и CD. Но UV пересекает AB и CD. AB || CD.

    Угол ONK = 69°.

    Угол LNC = 69° (накрест лежащие при секущей UV и параллельных AB, CD).

31. Угол LMO = 29°.

    Угол LMO и угол CMO - смежные. Угол CMO = 180 - 29 = 151°.

32. Угол CMO и угол MKB:

    Угол CMO и угол MKB - накрест лежащие при секущей EF и параллельных AB, CD. Значит, угол MKB = 151°.

33. Угол NOK:

    Рассмотрим треугольник MOK. Угол MKO = 180° - угол MKB = 180° - 151° = 29° (смежные).

    Угол KMO = 180° - угол CMO = 180° - 151° = 29°. Это неверно.

34. Снова: AB || CD

    Угол LMO = 29°.

    Угол AMN = 29° (накрест лежащие с LMO при секущей EF и параллельных AB, CD).

35. Угол AMN и угол KMC:

    Угол AMN и угол KMC - вертикальные. Угол KMC = 29°.

36. Угол ONK = 69°.

    Угол ONK и угол NKC - накрест лежащие при секущей UV и параллельных AB, CD. Нет.

    Угол ONK = 69°.

37. Угол KNC = 180° - 69° = 111° (смежные).
38. Рассмотрим треугольник MOK.

    Нам нужно найти угол NOK.

    Угол LMO = 29°.

    Угол KMC = 29° (вертикальные).

    Угол MKO = 180° - 29° = 151° (смежные с KMC, если бы KMC и MKO были смежными, но они не так расположены).

39. Угол LMO = 29°.

    Угол KMC = 29° (вертикальные).

40. Угол MKO = 180° - 29° = 151°? Нет.

41. Угол LMO = 29°.

    Угол KMC = 29° (вертикальные).

42. Угол KMC и угол MKB:

    Угол KMC + Угол MKB = 180° (смежные).

43. Угол LMO = 29°.

    Угол AMN = 29° (накрест лежащие при AB || CD, секущая EF).

44. Угол AMN и угол OMK:

    Угол AMN и угол OMK - вертикальные. Значит, угол OMK = 29°.

45. Угол ONK = 69°.

    Угол ONK и угол LNK - смежные. Угол LNK = 180° - 69° = 111°.

46. Угол LNK и угол LMO:

    Угол LNK и угол LMO - накрест лежащие при секущей UV и параллельных AB, CD. Это неверно.

47. Угол ONK = 69°.

    Угол KNC = 180° - 69° = 111° (смежные).

48. Угол KNC и угол MKO:

    Угол KNC и угол MKO - накрест лежащие при секущей UV и параллельных AB, CD. Значит, угол MKO = 111°.

49. В треугольнике MOK:

    Мы знаем угол OMK = 29° (вертикальный к AMN, который равен LMO).

    Мы знаем угол MKO = 111°.

    Сумма углов в треугольнике MOK = 180°.

    Угол NOK = 180° - (Угол OMK + Угол MKO)

    Угол NOK = 180° - (29° + 111°) = 180° - 140° = 40°.

50. Проверим:

    Угол LMO = 29°. Угол AMN = 29° (накрест лежащие).

    Угол AMN и угол KMC = 29° (вертикальные).

    Угол KMC = 29°.

    Угол MKO = 111° (накрест лежащий с KNC, который равен 180-69).

    В треугольнике MOK:

    Угол OMK = 29° (вертикальный к AMN).

    Угол MKO = 111°.

    Угол NOK = 180° - (29° + 111°) = 180° - 140° = 40°.

51. Альтернативный путь:

    Угол LMO = 29°. Угол KMC = 29° (вертикальные).

    Угол ONK = 69°. Угол LNK = 180° - 69° = 111° (смежные).

    Угол LNK и угол MKO = 111° (накрест лежащие при UV || EF? Нет).

    Угол ONK = 69°.

    Угол LMO = 29°.

    Рассмотрим угол LMK = 180° - 29° = 151° (смежный с LMO).

    Угол KMC = 29° (вертикальный к LMO).

52. Угол LMO = 29°.

    Угол KMC = 29° (вертикальные).

53. Угол ONK = 69°.

    Угол NKC = 180° - 69° = 111° (смежные).

54. Рассмотрим треугольник MOK.

    Угол KMO = 29° (вертикальный к LMO).

    Угол MOK = ?

    Угол OKM = ?

55. Угол LMO = 29°.

    Угол KMC = 29° (вертикальные).

56. Угол ONK = 69°.

    Угол LNK = 180° - 69° = 111° (смежные).

57. Угол LNK и угол MKO:

    Угол LNK и угол MKO являются накрест лежащими при секущей UV и параллельных прямых AB и CD. Нет, это не накрест лежащие.

58. Угол ONK = 69°.

    Угол LNC = 69° (накрест лежащие при секущей UV и параллельных AB, CD).

59. Угол LNC и угол MNO:

    Угол LNC и угол MNO - вертикальные, значит, MNO = 69°.

60. Угол LMO = 29°.

    Угол AMN = 29° (вертикальные).

61. Угол MNO = 69°.

    В треугольнике MNO: угол MON = 180° - (угол MNO + угол NMO) = 180° - (69° + 29°) = 180° - 98° = 82°.

62. Угол MON и угол NOK:

    Угол MON и угол NOK - смежные. Угол MON = 82°. Значит, угол NOK = 180° - 82° = 98°.

63. Проверим:

    AB || CD.

    Угол LMO = 29°.

    Угол ONK = 69°.

    Угол LMO и угол AMN = 29° (вертикальные). Следовательно, угол OMK = 29°.

    Угол ONK = 69°.

    Угол LNC = 69° (накрест лежащие при секущей UV и параллельных AB, CD).

    Угол LNC и угол OMK = 69°? Нет.

64. Попробуем еще раз:

    AB || CD.

    Угол LMO = 29°.

    Угол ONK = 69°.

    Угол LMO и угол AMN = 29° (вертикальные).

    Угол AMN и угол KMC = 29° (вертикальные).

    Угол ONK = 69°.

    Угол LNK = 180° - 69° = 111° (смежные).

    Угол LNK и угол MKO = 111° (накрест лежащие при секущей UV и параллельных AB, CD).

    В треугольнике MOK:

    Угол KMO = 29° (вертикальный к AMN).

    Угол MKO = 111°.

    Угол NOK = 180° - (29° + 111°) = 180° - 140° = 40°.

65. Угол LMO = 29°.

    Угол KMC = 29° (вертикальные).

66. Угол KMC и угол MKB:

    Угол KMC + Угол MKB = 180° (смежные).

67. Угол ONK = 69°.

    Угол LNK = 180° - 69° = 111° (смежные).

68. Угол LNK и угол MKO:

    Угол LNK и угол MKO - накрест лежащие при секущей UV и параллельных AB, CD. Значит, угол MKO = 111°.

69. В треугольнике MOK:

    Угол KMO = 29° (вертикальный к LMO).

    Угол MKO = 111°.

    Угол NOK = 180° - (29° + 111°) = 180° - 140° = 40°.

70. Другой подход:

    Угол LMO = 29°.

    Угол AMN = 29° (вертикальные).

    Угол ONK = 69°.

    Угол LNK = 180° - 69° = 111° (смежные).

    Угол NKC = 69° (соответственные с ONK при секущей UV и параллельных AB, CD).

    Угол NKC и угол MKO - вертикальные. Значит, MKO = 69°.

71. В треугольнике MOK:

    Угол KMO = 29°.

    Угол MKO = 69°.

    Угол NOK = 180° - (29° + 69°) = 180° - 98° = 82°.

72. Проверка:

    AB || CD.

    Угол LMO = 29°.

    Угол ONK = 69°.

    Угол LMO и угол AMN = 29° (вертикальные).

    Угол ONK = 69°.

    Угол LMO = 29°.

    Угол KMC = 29° (вертикальные).

    Угол MKB = 180° - 29° = 151° (смежные).

    Угол NKC = 69° (соответственные с ONK при секущей UV и параллельных AB, CD).

    Угол NKC = 69°.

    Угол MKO = 69° (вертикальные с NKC).

    В треугольнике MOK:

    Угол KMO = 29° (вертикальный к LMO).

    Угол MKO = 69°.

    Угол NOK = 180° - (29° + 69°) = 180° - 98° = 82°.

73. Финальная проверка:

    AB || CD.

    Угол LMO = 29°.

    Угол ONK = 69°.

    Угол KMC = 29° (вертикальные).

    Угол NKC = 69° (соответственные при секущей UV и параллельных AB, CD).

    Угол MKO = 69° (вертикальные к NKC).

    В треугольнике MOK:

    Угол KMO = 29° (вертикальные к LMO).

    Угол MKO = 69°.

    Угол NOK = 180° - (29° + 69°) = 180° - 98° = 82°.

Ответ: 82