16) (3 балла) Из 12 полицейских необходимо составить наряд из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Для составления наряда из 5 человек, нужно выбрать 5 полицейских из 12 имеющихся. Это задача на комбинаторику, а именно на сочетания, так как порядок выбора полицейских не имеет значения.

Формула для числа сочетаний из \( n \) по \( k \) элементам: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

В данном случае \( n = 12 \) (общее количество полицейских) и \( k = 5 \) (количество полицейских в наряде).

Рассчитаем количество способов:

\[ C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{120} \]

Сократим:

\[ C_{12}^5 = \frac{12}{12} \times 11 \times \frac{10}{10} \times 9 \times \frac{8}{1} = 11 \times 9 \times 8 = 792 \]

Ответ: 792 способами.