18) (3 балла) Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 15см, высота пирамиды равна 12см. Найти объём и площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида.
• Апофема \( l = 15 \) см.
• Высота \( h = 12 \) см.

Найти:

• Объём \( V \).
• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

1. Находим сторону основания.

В правильной четырехугольной пирамиде апофема, высота и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Обозначим половину стороны основания как \( r \) (радиус вписанной окружности в основание).

\[ l^2 = h^2 + r^2 \]

\[ 15^2 = 12^2 + r^2 \]

\[ 225 = 144 + r^2 \]

\[ r^2 = 225 - 144 = 81 \]

\[ r = \(\sqrt{81}\) = 9 \) см.

Сторона основания \( a = 2r = 2 \cdot 9 = 18 \) см.

2. Находим площадь основания.

Основание — квадрат со стороной \( a = 18 \) см.

\[ S_{осн} = a^2 = 18^2 = 324 \) см².

3. Находим площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупериметру основания, умноженному на апофему.

Периметр основания \( P = 4a = 4 \cdot 18 = 72 \) см.

Полупериметр основания \( p = \frac{P}{2} = \frac{72}{2} = 36 \) см.

\[ S_{бок} = p · l = 36 \(\cdot\) 15 = 540 \) см².

4. Находим площадь полной поверхности.

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 324 + 540 = 864 \) см².

5. Находим объём пирамиды.

Объём пирамиды равен одной трети площади основания, умноженной на высоту.

\[ V = \(\frac{1}{3}\) S_{осн} \(\cdot\) h = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) 324 \(\cdot\) 12 = 108 \(\cdot\) 12 = 1296 \) см³.

Ответ: Объём пирамиды равен 1296 см³, площадь полной поверхности равна 864 см².