20) (3 балла) Найдите наименьшее значение функции y = x² - 12x + 12 на отрезке [-1; 3

Решение:

Функция \( y = x^2 - 12x + 12 \) является параболой, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше 0). Наименьшее значение функции на отрезке может достигаться либо в вершине параболы (если она попадает на отрезок), либо на концах отрезка.

1. Найдем координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины \( x_в \) находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \).

В данном случае \( a = 1 \) и \( b = -12 \).

\[ x_в = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 \]

Вершина параболы находится в точке \( x = 6 \). Этот x-координата не попадает на заданный отрезок \( [-1; 3] \).

2. Найдем значения функции на концах отрезка.

Поскольку вершина параболы находится правее отрезка \( [-1; 3] \), и ветви параболы направлены вверх, функция будет убывать на всем отрезке.

Следовательно, наименьшее значение будет достигаться на правом конце отрезка.

Вычислим значение функции при \( x = -1 \) (левый конец отрезка):

\[ y(-1) = (-1)^2 - 12(-1) + 12 = 1 + 12 + 12 = 25 \]

Вычислим значение функции при \( x = 3 \) (правый конец отрезка):

\[ y(3) = (3)^2 - 12(3) + 12 = 9 - 36 + 12 = 21 - 36 = -15 \]

Сравниваем полученные значения: \( 25 \) и \( -15 \).

Наименьшее значение функции на отрезке \( [-1; 3] \) равно \( -15 \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно -15.