16. (3 балла) Решите уравнение 2sin² х - 5cosx - 5 = 0.

Решение:

1. Заменим \( \sin^2 x \) через \( 1 - \cos^2 x \) на основе основного тригонометрического тождества.
2. \( 2(1 - \cos^2 x) - 5\cos x - 5 = 0 \).
3. \( 2 - 2\cos^2 x - 5\cos x - 5 = 0 \).
4. \( -2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0 \).
5. Умножим уравнение на -1: \( 2\cos^2 x + 5\cos x + 3 = 0 \).
6. Сделаем замену: пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2y^2 + 5y + 3 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Дискриминант \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \).
8. Корни: \( y_1 = \frac{-5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 \) и \( y_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \).
9. Так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), то \( y_1 = -1.5 \) не имеет решений.
10. Рассмотрим \( y_2 = -1 \): \( \cos x = -1 \).
11. Это соответствует \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)