16. (3 балла) Решите уравнение. 6cos²x-5sinx+5=0.

Решение:

Заменим \( \cos^2 x \) на \( 1 - \sin^2 x \) по основному тригонометрическому тождеству:

\[ 6(1 - \sin^2 x) - 5\sin x + 5 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 6 - 6\sin^2 x - 5\sin x + 5 = 0 \]

Приведём подобные члены:

\[ -6\sin^2 x - 5\sin x + 11 = 0 \]

Умножим на -1 для удобства:

\[ 6\sin^2 x + 5\sin x - 11 = 0 \]

Сделаем замену \( t = \sin x \), где \( -1 \le t \le 1 \):

\[ 6t^2 + 5t - 11 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) = 25 + 264 = 289 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 \]

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6} \]

Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \):

1. \( \sin x = 1 \)

• \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

2. \( \sin x = -\frac{11}{6} \)

• Это уравнение не имеет решений, так как \( -\frac{11}{6} < -1 \), а \( \sin x \) может принимать значения только в интервале \( [-1; 1] \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)