16. (3 балла) Решите уравнение. \(\cos^2x + сinx\cdot\cos x = 1\)

Решение:

1. Вспомним основное тригонометрическое тождество: \( сin^2x + сos^2x = 1 \).
2. Заменим 1 в уравнении на \( сin^2x + сos^2x \): \( сos^2x + сinx\cdot\cos x = сin^2x + сos^2x \).
3. Вычтем \( сos^2x \) из обеих частей уравнения: \( сinx\cdot\cos x = сin^2x \).
4. Перенесём все члены в одну сторону: \( сinx\cdot\cos x - сin^2x = 0 \).
5. Вынесем общий множитель \( сinx \) за скобки: \( сinx (\cos x - сinx) = 0 \).
6. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( сinx = 0 \) или \( сos x - сinx = 0 \).
7. Решим первое уравнение: \( сinx = 0 \) ⇒ \( x = π n \), где \( n \) — целое число.
8. Решим второе уравнение: \( сos x - сinx = 0 \) ⇒ \( сos x = сinx \).
9. Разделим обе части на \( сos x \) (при условии, что \( сos x \neq 0 \), что верно, так как если \( сos x = 0 \), то \( сinx = \pm 1 \), и равенство \( сos x = сinx \) не выполняется): \( 1 = тg x \) ⇒ \( x = \frac{π}{4} + π k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = π n \) и \( x = \frac{π}{4} + π k \), где \( n, k \) — целые числа.