17. (3 балла) Для функции f(х) найдите первообразную, график которой проходит через точку М: f(x)=x²+2, если М(2;15)

Решение:

1. Сначала найдём общую формулу первообразной для функции \( f(x) = x^2 + 2 \).
2. Первообразная \( F(x) \) находится интегрированием: \( F(x) = + (x^2 + 2) dx = + x^2 dx + + 2 dx \).
3. Интегрируем: \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.
4. Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку \( M(2; 15) \). Это значит, что при \( x = 2 \) значение \( F(x) = 15 \).
5. Подставим значения \( x = 2 \) и \( F(x) = 15 \) в формулу первообразной: \( 15 = \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 + C \).
6. Вычислим: \( 15 = \frac{8}{3} + 4 + C \).
7. Выразим \( C \): \( C = 15 - 4 - \frac{8}{3} = 11 - \frac{8}{3} \).
8. Приведём к общему знаменателю: \( C = \frac{33}{3} - \frac{8}{3} = \frac{25}{3} \).
9. Теперь запишем частную первообразную, подставив найденное значение \( C \): \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{25}{3} \).

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{25}{3} \).