16. AK : KD = 2 : 1, S_{ABK} = 12. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Пусть \( KD = x \). Тогда \( AK = 2x \). Сторона AD параллелограмма равна \( AK + KD = 2x + x = 3x \).

Треугольники ABK и KBD имеют одинаковую высоту, проведённую из вершины B к основанию AD.

Отношение их площадей равно отношению их оснований: \( \frac{S_{ABK}}{S_{KBD}} = \frac{AK}{KD} = \frac{2x}{x} = 2 \).

Так как \( S_{ABK} = 12 \), то \( S_{KBD} = \frac{S_{ABK}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).

Площадь треугольника ABD равна сумме площадей треугольников ABK и KBD: \( S_{ABD} = S_{ABK} + S_{KBD} = 12 + 6 = 18 \).

Площадь параллелограмма ABCD равна удвоенной площади треугольника ABD, так как диагональ BD делит параллелограмм на два равных по площади треугольника.

\( S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABD} = 2 \cdot 18 = 36 \).

Ответ: 36