16. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Угол, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть данный равнобедренный треугольник будет ABC, где боковые стороны AB=BC=10, и угол B = 120 градусов. Используем теорему синусов для нахождения радиуса описанной окружности R: $$\frac{AB}{\sin{C}}=\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{B}}= 2R$$. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, то есть A = C. Тогда A + C + B = 180. A + A + 120 = 180, 2A = 60, A = 30, значит C=30. Теперь используем $$\frac{AC}{\sin{B}}=2R$$, или $$AC = 2R \sin{B}$$. Найдем длину AC с помощью теоремы косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*\cos{120}$$ = $$10^2 + 10^2 - 2*10*10*(-0.5)$$ = 100 + 100 + 100=300. Значит $$AC = \sqrt{300}=10\sqrt{3}$$. Теперь найдем радиус описанной окружности : $$2R = \frac{AC}{\sin{120}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = \frac{10\sqrt{3}*2}{\sqrt{3}} = 20$$. Значит $$R = 10$$, а диаметр равен $$2R = 20$$. Таким образом, диаметр описанной окружности равен 20.