16 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K. BK = 18, DK = 9, BC = 16. Найдите AD.

Используем свойство пересекающихся хорд (или секущих): $$AK \cdot KB = DK \cdot KC$$.

Так как $$ABCD$$ вписан в окружность, то $$AK \cdot KB = CK \cdot KD$$.

Из подобия треугольников $$\triangle KAD \sim \triangle KCB$$ следует $$\frac{KA}{KC} = \frac{KD}{KB} = \frac{AD}{CB}$$.

Пусть $$AK = x$$. Тогда $$x \cdot 18 = 9 \cdot (18+x)$$.

$$18x = 162 + 9x \implies 9x = 162 \implies x = 18$$.

Теперь из подобия: $$\frac{18}{18+9} = \frac{AD}{16} \implies \frac{18}{27} = \frac{AD}{16} \implies \frac{2}{3} = \frac{AD}{16} \implies AD = \frac{2 \cdot 16}{3} = \frac{32}{3}$$.