17. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

По условию основания \( a = 6 \) и \( b = 2 \).

Один из углов между боковой стороной и большим основанием равен \( 45^{\circ} \).

Проведем высоту \( h \) из вершины тупого угла к большему основанию. Эта высота образует прямоугольный треугольник с боковой стороной и частью большего основания.

В этом прямоугольном треугольнике угол при основании равен \( 45^{\circ} \), а значит, второй острый угол равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Следовательно, треугольник является равнобедренным прямоугольным, и высота \( h \) равна отрезку большего основания, отсекаемому высотой. Этот отрезок равен \( \frac{a-b}{2} \) = \( \frac{6-2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Таким образом, высота \( h = 2 \).

Теперь вычислим площадь трапеции:

\( S = \frac{6+2}{2} \cdot 2 \)

\( S = \frac{8}{2} \cdot 2 \)

\( S = 4 \cdot 2 \)

\( S = 8 \)

Ответ: 8