16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K. BK = 4, AK = 12, BC = 21. Найдите AD.

По теореме о секущих:

\(KB\cdot KA=KC\cdot KD\).

Треугольники KBC и KDA подобны, поэтому:

\(\dfrac{KC}{KA}=\dfrac{KB}{KD}\).

Подставим \(KA=12\) и \(KB=4\):

\(\dfrac{KC}{12}=\dfrac{4}{KD}\), откуда \(KC\cdot KD=48\).

Следовательно, \(KC=4\), \(KD=12\). Из подобия:

\(\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{KB}{KD}\), поэтому

\(\dfrac{21}{AD}=\dfrac{4}{12}\).

\(AD=21\cdot\dfrac{12}{4}=63\).

Ответ: 63.