16 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 6, DK = 10, BC = 12. Найдите AD.

Решение:

Используем свойство пересекающихся хорд (или секущих, в данном случае продолжений сторон четырехугольника, вписанного в окружность):

• По теореме о пересекающихся секущих (или хордах, если рассматривать продолжения сторон как секущие, исходящие из точки K): $$KB ∙ KA = KC ∙ KD$$.
• Однако, в данном случае AB и CD являются сторонами вписанного четырехугольника, а K - точка пересечения их продолжений. Правильнее применить теорему о равенстве произведений отрезков секущих, исходящих из одной точки.
• Пусть AD = x.
• Тогда $$KA = KB + BA = 6 + BA$$. $$KD = KC + CD = 10 + CD$$.
• Однако, более подходящей теоремой является свойство подобных треугольников, образованных при пересечении продолжений сторон вписанного четырехугольника. Треугольники $$△ KBC$$ и $$△ KAD$$ подобны.
• Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны:
• $$KB / KD = KC / KA = BC / AD$$.
• Из условия дано: BK = 6, DK = 10, BC = 12. AD = x.
• Значит, $$6 / 10 = 12 / x$$.
• $$6x = 12 ∙ 10$$.
• $$6x = 120$$.
• $$x = 120 / 6$$.
• $$x = 20$$.

Ответ: 20