16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность (см. рис. 156). Прямые AB и CD пересекаются в точке F, BF = 4, DF = 16, BC = 7. Найдите AD.

Из точки \(F\) проведены две секущие, поэтому по теореме о секущих:

\(FB\cdot FA=FC\cdot FD\).

Так как точки на секущих расположены в порядке \(F-B-A\) и \(F-C-D\), имеем \(FA=FB+BA\), \(FD=FC+CD\). Для нахождения \(AD\) удобнее использовать подобие треугольников \(FBC\) и \(FDA\): углы при \(F\) общие, а \(\angle FBC=\angle FDA\) как углы, опирающиеся на одну дугу.

Следовательно, \(\frac{BC}{AD}=\frac{FB}{FD}\). Тогда \(AD=BC\cdot\frac{FD}{FB}=7\cdot\frac{16}{4}=28\).

Ответ: 28.