16. Диагональ AC ромба ABCD равна 28, а tg∠BCA = 24/7. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Тогда \( AO = OC = 28/2 = 14 \). В прямоугольном треугольнике \( BOC \), \( OC = 14 \).

По условию \( \text{tg} \angle BCA = \frac{24}{7} \). В треугольнике \( BOC \), \( \text{tg} \angle BCA = \frac{BO}{OC} \).

Значит, \( \frac{BO}{14} = \frac{24}{7} \).

Отсюда \( BO = 14 \cdot \frac{24}{7} = 2 \cdot 24 = 48 \).

Диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 48 = 96 \).

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} AC BD \) = \( \frac{1}{2} 28 96 \) = \( 14 \cdot 96 = 1344 \).

Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) — полупериметр ромба.

Сторона ромба \( AB \) (гипотенуза \( \u0012 BOC \) ) равна \( \sqrt{OC^2 + BO^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \).

Периметр ромба \( P = 4 50 = 200 \).

Полупериметр \( p = \frac{200}{2} = 100 \).

Теперь найдём радиус: \( r = \frac{1344}{100} = 13.44 \).

Ответ: 13.44