16. Диагональ AC ромба ABCD равна 28, а tg/BCA = 24/7. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке O.

\( AC = 28 \), значит, \( AO = OC = \frac{28}{2} = 14 \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \):

\( \angle BOC = 90^ \)

\( tg \angle BCA = \frac{BO}{OC} \)

\( \frac{24}{7} = \frac{BO}{14} \)

\( BO = \frac{24}{7} \cdot 14 = 24 \cdot 2 = 48 \).

\( BD = 2  BO = 2  48 = 96 \).

Сторона ромба \( AB \) находится по теореме Пифагора из \( \triangle BOC \):

\( AB^2 = BO^2 + OC^2 = 48^2 + 14^2 = 2304 + 196 = 2500 \)

\( AB = \sqrt{2500} = 50 \).

Площадь ромба \( S \) можно найти двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2}  AC  BD = \frac{1}{2}  28  96 = 14  96 = 1344 \).

2. \( S = a  h \), где \( a \) — сторона ромба, \( h \) — высота.

Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине высоты ромба: \( r = \frac{h}{2} \), значит \( h = 2r \).

\( S = AB  h = 50  2r = 100r \).

Приравниваем площади:

\( 100r = 1344 \)

\( r = \frac{1344}{100} = 13.44 \).

Ответ: 13.44