17. Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 29° и 77°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение:

Пусть \( ABCD \) — равнобедренная трапеция с основаниями \( AD \) и \( BC \) \( AD \parallel BC \).

Пусть \( AC \) — диагональ. Пусть \( ∫ CAD = 29° \) и \( ∫ BAC = 77° \).

Угол при большем основании \( AD \) равен \( ∫ DAB \).

Так как \( AD \parallel BC \), то \( ∫ ACB = ∫ CAD = 29° \) (накрест лежащие углы).

Угол \( ∫ DAB = ∫ DAC + ∫ CAB = 29° + 77° = 106° \).

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому \( ∫ ADC = ∫ DAB = 106° \).

Сумма углов трапеции равна 360°. Углы при меньшем основании \( BC \) равны:

\( ∫ ABC = ∫ BCD = 360° - 106° - 106° = 360° - 212° = 148° \).

Проверим условие, что диагональ образует с боковыми сторонами углы 29° и 77°.

Рассмотрим треугольник \( AB C \). \( ∫ BCA = 29° \), \( ∫ BAC = 77° \). Угол \( ∫ ABC = 180° - 77° - 29° = 180° - 106° = 74° \).

Но мы получили, что \( ∫ ABC = 148° \). Это означает, что данные углы — \( 29° \) и \( 77° \) — относятся к углам между диагональю и боковой стороной.

Пусть \( ∫ CAD = 29° \) и \( ∫ ACD = 77° \).

Тогда в \( ∫ ADC \): \( ∫ ADC = 29° + 77° = 106° \).

Так как трапеция равнобедренная, \( ∫ DAB = ∫ ADC = 106° \).

Проверим углы с другой боковой стороной, например \( AB \).

Если \( ∫ BAC = 29° \) и \( ∫ BCA = 77° \), то \( ∫ ABC = 180° - 29° - 77° = 180° - 106° = 74° \).

Это противоречит тому, что углы при большем основании должны быть острыми, а при меньшем — тупыми (если диагональ образует острый угол с боковой стороной).

Предположим, что \( ∫ CAB = 29° \) и \( ∫ ACD = 77° \). Тогда \( ∫ CAD \) и \( ∫ ACB \) нам неизвестны. Это неверное предположение.

Вернемся к условию: диагональ образует с боковыми сторонами углы \( 29° \) и \( 77° \).

Пусть \( ∫ CAD = 29° \) и \( ∫ BAC = 77° \).

Угол при основании \( AD \) равен \( ∫ DAB \).

\( ∫ DAB = ∫ DAC + ∫ CAB = 29° + 77° = 106° \).

Угол при основании \( AD \) равен \( 106° \).

Ответ: 106