16. Диагональ АС ромба ABCD равна 28, а tg∠BCA = 24/7. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

Пусть \( O \) — центр вписанной окружности. Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине высоты ромба, проведенной из вершины к диагонали.

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \).

В прямоугольном треугольнике \( BOC \) имеем \( OC = AC/2 = 28/2 = 14 \).

По условию \( \text{tg} \angle BCA = \frac{24}{7} \). В треугольнике \( BOC \) \( \text{tg} \angle BCA = \frac{OB}{OC} \).

Следовательно, \( OB = OC \cdot \text{tg} \angle BCA = 14 \cdot \frac{24}{7} = 2 \cdot 24 = 48 \).

Диагональ \( BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot 48 = 96 \).

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 96 = 14 \cdot 96 = 1344 \).

Высота ромба \( h \) связана с площадью формулой \( S = a \cdot h \), где \( a \) — сторона ромба. Сторону ромба найдём из треугольника \( BOC \) по теореме Пифагора: \( BC^2 = OC^2 + OB^2 = 14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500 \). Следовательно, \( BC = \sqrt{2500} = 50 \).

Высота ромба \( h = \frac{S}{a} = \frac{1344}{50} = 26.88 \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} = \frac{26.88}{2} = 13.44 \).

Альтернативное решение:

Радиус вписанной окружности равен высоте, опущенной из вершины прямого угла \( ∫ BOC \) на гипотенузу \( BC \). Пусть \( r \) — этот радиус.

\( r = \frac{OC \cdot OB}{BC} = \frac{14 \cdot 48}{50} = \frac{672}{50} = 13.44 \).

Ответ: 13.44