16. Диагональ АС ромба ABCD равна 32, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Краткая запись:

• Ромб ABCD.
• Диагональ AC = 32.
• tg ∠BCA = 0,75.
• Найти: Радиус вписанной окружности (r) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O. Тогда AO = OC = AC/2 = 32/2 = 16. В прямоугольном треугольнике BOC: ∠BOC = 90°.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике BOC, tg ∠BCA = OB / OC.
3. Шаг 3: Подставляем известные значения: 0,75 = OB / 16.
4. Шаг 4: Находим OB: OB = 0,75 * 16 = 12.
5. Шаг 5: Диагональ BD = 2 * OB = 2 * 12 = 24.
6. Шаг 6: Площадь ромба S = (AC * BD) / 2 = (32 * 24) / 2 = 384.
7. Шаг 7: Найдем сторону ромба AB (по теореме Пифагора в треугольнике BOC): AB² = OB² + OC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400. AB = √400 = 20.
8. Шаг 8: Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту: S = AB * h, где h — высота ромба.
9. Шаг 9: Находим высоту: h = S / AB = 384 / 20 = 19,2.
10. Шаг 10: Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба: r = h / 2 = 19,2 / 2 = 9,6.

Ответ: 9.6