16. Диагональ АС ромба ABCD равна 32, а tg /BCА = 0.75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Задание 16. Ромб и вписанная окружность

Дано:

• Ромб ABCD.
• Диагональ AC = 32.
• \( \text{tg} \big\backslash \text{BCA} \big\backslash = 0.75 \).

Найти: радиус вписанной окружности.

Решение:

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
2. Тогда AO = OC = AC / 2 = 32 / 2 = 16.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. Угол BCA равен некоторому углу, для которого тангенс равен 0.75.
4. Мы знаем, что \( \text{tg} \big\backslash \text{BCA} \big\backslash = \frac{BO}{OC} \).
5. Отсюда BO = \( \text{tg} \big\backslash \text{BCA} \big\backslash \times OC = 0.75 \times 16 = 12 \).
6. Диагональ BD = 2 * BO = 2 * 12 = 24.
7. Площадь ромба можно вычислить по формуле: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали.
8. \( S = \frac{1}{2} \times 32 \times 24 = 16 \times 24 = 384 \).
9. Радиус вписанной окружности в ромб можно найти по формуле: \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) — полупериметр ромба.
10. Чтобы найти полупериметр, найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора в треугольнике BOC: \( BC^2 = BO^2 + OC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \).
11. BC = \( \text{sqrt}(400) = 20 \).
12. Периметр ромба = 4 * BC = 4 * 20 = 80.
13. Полупериметр \( p = 80 / 2 = 40 \).
14. Радиус \( r = \frac{S}{p} = \frac{384}{40} = 9.6 \).

Ответ: радиус вписанной окружности равен 9.6.