16. Диагональ АС ромба ABCD равна 36, а tg∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

\( AC = 36 \), значит, \( AO = OC = \frac{36}{2} = 18 \).

В ромбе \( \angle ABC = \angle ADC \) и \( \angle BAD = \angle BCD \). Диагонали являются биссектрисами углов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BOC \). В нём \( \angle BOC = 90^{\circ} \).

Нам дан \( \text{tg} \angle BCA = 0.75 = \frac{3}{4} \).

В \( \triangle BOC \): \( \text{tg} \angle BCA = \frac{BO}{OC} \).

\( \frac{3}{4} = \frac{BO}{18} \)

\( BO = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 \).

Вторая диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 13.5 = 27 \).

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба. Площадь ромба можно найти двумя способами:

\( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 27 = 18 \cdot 27 = 486 \).

Также площадь ромба равна произведению стороны на высоту: \( S = a \cdot h \).

Сторону ромба \( BC \) найдём по теореме Пифагора из \( \triangle BOC \):

\( BC^2 = BO^2 + OC^2 = 13.5^2 + 18^2 = 182.25 + 324 = 506.25 \).

\( BC = \sqrt{506.25} = 22.5 \).

Теперь найдём высоту \( h \):

\( h = \frac{S}{a} = \frac{486}{22.5} = \frac{4860}{225} = 21.6 \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} \).

\( r = \frac{21.6}{2} = 10.8 \).

Ответ: 10.8