16 Хорда АВ, перпендикулярная диаметру CD окружности с центром в точке О, делит диаметр на отрезки CH = 16, HD = 4. Найдите длину хорды АВ.

Решение:

Дано:

• Окружность с центром в точке O.
• Диаметр CD.
• Хорда AB перпендикулярна CD.
• Точка пересечения хорды AB и диаметра CD - H.
• \( CH = 16 \), \( HD = 4 \).

Найти:

• Длину хорды AB.

Ход решения:

1. Диаметр CD состоит из двух отрезков CH и HD: \( CD = CH + HD = 16 + 4 = 20 \).
2. Радиус окружности равен половине диаметра: \( R = \frac{CD}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).
3. Центр окружности O делит диаметр CD пополам. Так как \( CH = 16 \) и \( R = 10 \), точка H находится между O и D.
4. Расстояние от центра O до точки H: \( OH = OC - CH \) или \( OH = R - CH \) — это неверно, так как H не находится между C и O.
5. Правильное расстояние от центра O до точки H: \( OH = |R - CH| \) или \( OH = |R - HD| \).
6. Рассмотрим отрезок HD. \( HD = 4 \). Радиус OC = OD = 10.
7. Точка O делит диаметр CD. \( CO = OD = 10 \).
8. Расстояние OH: \( OH = OD - HD = 10 - 4 = 6 \).
9. Хорда AB перпендикулярна диаметру CD. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Следовательно, \( AH = HB \).
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OHB \). Гипотенуза OB — это радиус окружности, \( OB = R = 10 \). Один из катетов — \( OH = 6 \).
11. По теореме Пифагора найдём второй катет HB: \( HB^2 = OB^2 - OH^2 \)
12. \( HB^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \)
13. \( HB = \sqrt{64} = 8 \).
14. Так как \( AH = HB \), то длина хорды AB: \( AB = AH + HB = 8 + 8 = 16 \).

Ответ: Длина хорды AB равна 16.