16. К окружности с центром в точке О проведены касательная ВС и секущая ВО (см. рис. 130). Найдите радиус окружности (в см), если ВС = 28 см, ВО = 53 см.

Решение:

По свойству касательной, проведённой из точки к окружности, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \triangle BOC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle BCO \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \) имеем:

\[ BC^2 + OC^2 = BO^2 \]

Где \( BC = 28 \) см — катет (касательная), \( OC = r \) — катет (радиус окружности), \( BO = 53 \) см — гипотенуза (секущая).

Подставим известные значения:

\[ 28^2 + r^2 = 53^2 \]

\[ 784 + r^2 = 2809 \]

Выразим \( r^2 \):

\[ r^2 = 2809 - 784 \]

\[ r^2 = 2025 \]

Найдем \( r \), извлекая квадратный корень:

\[ r = \sqrt{2025} \]

\[ r = 45 \text{ см} \]

Ответ: 45 см