16. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что \( \angle NBA = 48^{\circ} \). Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( NBA \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( NA \). Следовательно, градусная мера дуги \( NA \) равна \( 2 \cdot \angle NBA \).

\[ \text{arc} NA = 2 \cdot 48^{\circ} = 96^{\circ} \]

Угол \( NMA \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NA \). Его градусная мера равна половине градусной меры дуги \( NA \).

\[ \angle NMA = \frac{1}{2} \text{arc} NA = \frac{1}{2} \cdot 96^{\circ} = 48^{\circ} \]

Угол \( NMB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NB \).

Так как \( AB \) — диаметр, угол \( ANB \) является вписанным углом, опирающимся на полуокружность, поэтому \( \angle ANB = 90^{\circ} \).

В треугольнике \( ANB \), сумма углов равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle NAB + \angle NBA + \angle ANB = 180^{\circ} \]

\[ \angle NAB + 48^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle NAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ} \]

Угол \( NAM \) равен \( \angle NAB = 42^{\circ} \) (точки M и N лежат по разные стороны от AB, но угол \( NBA \) дано, а нам нужен \( NMB \)).

Угол \( NMB \) и угол \( NAB \) опираются на одну и ту же дугу \( NB \). Следовательно, \( \angle NMB = \angle NAB \).

\[ \angle NMB = 42^{\circ} \]

Ответ: 42