16. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 72 и ВС = 25. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

1. Определим радиус окружности:

   Окружность построена с центром в точке А и проходит через точку С. Следовательно, радиус окружности (r) равен длине отрезка АС.

   r = AC = 72

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник:

   Пусть ВТ — касательная, проведенная из точки В к окружности, где Т — точка касания. Радиус АТ, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной ВТ. Таким образом, треугольник АТВ является прямоугольным, с прямым углом при вершине Т.

3. Найдем длину гипотенузы АВ:

   Точка С лежит на отрезке АВ. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.

   AB = AC + BC

   AB = 72 + 25

   AB = 97

4. Найдем длину касательной ВТ по теореме Пифагора:

   В прямоугольном треугольнике АТВ:

   AB^2 = AT^2 + BT^2

   97^2 = 72^2 + BT^2

   9409 = 5184 + BT^2

   BT^2 = 9409 - 5184

   BT^2 = 4225

5. Вычислим BT:

   BT = \(\sqrt{4225}\)

   BT = 65

Ответ: 65