14. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик первый раз не достигнет высоты 15 см?

Решение:

Обозначим высоту первого прыжка как \( h_1 = 3.6 \) м. Высота каждого следующего прыжка в два раза меньше предыдущего, то есть \( h_n = h_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \), где \( n \) — номер прыжка.

Нам нужно найти такой номер прыжка \( n \), при котором высота \( h_n \) станет меньше 15 см. Переведём метры в сантиметры: \( 3.6 \text{ м} = 360 \text{ см} \).

Формула высоты прыжка в сантиметрах:

\[ h_n = 360 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]

Мы ищем \( n \), при котором \( h_n < 15 \) см.

\[ 360 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 15 \]

Разделим обе части неравенства на 360:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{15}{360} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{15}{360} = \frac{1}{24} \]

Итак, неравенство принимает вид:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{24} \]

Теперь найдём, для какого \( n \) это условие выполняется. Перепишем в виде степеней двойки:

\[ 2^{-(n-1)} < 2^{-\log_2{24}} \]

Или, избавившись от минусов (меняя знак неравенства):

\[ n-1 > \log_2{24} \]

Значение \( \log_2{24} \) находится между \( \log_2{16}=4 \) и \( \log_2{32}=5 \). Примерно \( \log_2{24} \approx 4.58 \).

Тогда:

\[ n-1 > 4.58 \]

\( n > 5.58 \)

Наименьшее целое \( n \), удовлетворяющее этому неравенству, равно 6.

Проверим:

• \( h_1 = 360 \text{ см} \)
• \( h_2 = 360/2 = 180 \text{ см} \)
• \( h_3 = 180/2 = 90 \text{ см} \)
• \( h_4 = 90/2 = 45 \text{ см} \)
• \( h_5 = 45/2 = 22.5 \text{ см} \)
• \( h_6 = 22.5/2 = 11.25 \text{ см} \)

На 6-м прыжке высота впервые станет меньше 15 см.

Ответ: 6