16. Найдите наибольшее значение функции у = (х – 6) * ех-5, на отрезке [4; 6].

Решение:

1. Найдём производную функции: \( y' = (x-6)'e^{x-5} + (x-6)(e^{x-5})' = 1 \cdot e^{x-5} + (x-6)e^{x-5} \).
2. Упростим выражение: \( y' = e^{x-5}(1 + x - 6) = e^{x-5}(x-5) \).
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( e^{x-5}(x-5) = 0 \). Так как \( e^{x-5} \) всегда больше нуля, то \( x-5 = 0 \), откуда \( x = 5 \).
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • При \( x=4 \): \( y(4) = (4-6)e^{4-5} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e} \).
   • При \( x=5 \): \( y(5) = (5-6)e^{5-5} = -1e^{0} = -1 \).
   • При \( x=6 \): \( y(6) = (6-6)e^{6-5} = 0 \cdot e^{1} = 0 \).
5. Сравним полученные значения: \( -\frac{2}{e} \approx -0.736 \), \( -1 \), \( 0 \). Наибольшее значение равно 0.

Ответ: 0.